Halaman
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2ATURAN SINUS, COSINUS DAN LUAS SEGITIGAKELAS X MATEMATIKA WAJIBPENYUSUNTinasari PristiyantiSMA Negeri 3 Bogor
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN.............................................................................................................................................2DAFTAR ISI............................................................................................................................................3GLOSARIUM...........................................................................................................................................4PETA KONSEP.......................................................................................................................................5PENDAHULUAN...................................................................................................................................6A. Identitas Modul...........................................................................................................6B. Kompetensi Dasar.......................................................................................................6C. Deskripsi Singkat Materi............................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................7E. Materi Pembelajaran...................................................................................................7KEGIATAN PEMBELAJARAN 1.......................................................................................................8Aturan Sinus..........................................................................................................................................8A.Tujuan Pembelajaran..................................................................................................8B.Uraian Materi..............................................................................................................8C.Rangkuman...............................................................................................................12D.Latihan Soal..............................................................................................................12F.Penilaian Diri............................................................................................................17KEGIATAN PEMBELAJARAN 2.....................................................................................................18Aturan Cosinus dan Luas Segitiga...............................................................................................18A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................18B.Uraian Materi............................................................................................................18C.Rangkuman...............................................................................................................22D.Latihan Soal..............................................................................................................22E.Penilaian Diri............................................................................................................26EVALUASI.............................................................................................................................................27DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................................32
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMTrigonometri:adalah ilmumatematika yang mempelajari tentang sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisiKoordinat cartesius:Suatu sistem koodinat yang menggunakan dua garis lurus yang saling tegak lurus dan berarah dalam menentukan kedudukan suatu titil pada bidangSinus:perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miringCosinus:perbandingan panjang dalam sebuah segitiga antara sisi samping sudut dengan sisi miringnyaKoordinat kutub:Suatu koordinat yang menggunakan sebuah sinar garis sebagai patokan muka dalam menentukan kedudukan suatu titik pada bidang.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEPPerbandingan Trigonometri dan Fungsi TrigonometriFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriPenerapan TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas SegitigaPerbandingan Trigonometri
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika WajibKelas:XAlokasi Waktu:2 Kegiatan Pembelajaran (2 x 90 menit)Judul Modul:Aturan Sinus dan CosinusB. Kompetensi Dasar3.9 Menjelaskan aturan sinus dancosinus4.9Menyelesaikan masalah yangberkaitan dengan aturan sinus dancosinusC. Deskripsi Singkat MateriMatematika adalah hasil sebuah pemikiran manusia terhadap fenomena yang terkaji yang ada disekitar kita dan bagaimana kita dapat menyelesaikannya. Kejadian disekitar kita tidak langsung berhuhungan dengan matematika, namun matematika adalah alat bantu supaya masalah yang kita hadapi dapat kita selesaikan. Hal ini membuat mengapa matematika salah satuilmu penting yang harus kita kuasai. Salah satu cabang matematika adalah Trigonometri. Trigonometriadalah suatu sistem perhitungan yang berkaitan dengan panjang dan sudut pada segitiga.Trigonometri banyak membantu disiplin ilmu lain dalam perhitungannya, seperti astronomi termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa, teorimusik, akustik, optikdan masih banyak lagi. Aturan Sinus dan Cosinusmerupakan salah satu hasil dari penerapan Trigonometri dalam bidang kehidupan sehari-hari. Perhatikan ilustrasi berikut!Amin berdiri sejauh 20 meter dari sebuah pohon dan memandang pucuk pohon cemara dengan sudut pandang sebesar 300. Bagaimana cara kita menentukan tinggi pohon cemara?
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7Permasalahan di atas dapat kita selesaikan dengan menggunakan trigonometri. Aplikasi trigonometri yang sering kita gunakan adalah dikenal dengan Aturan Sinus, Aturan Cosinus dan Luas Segitiga. Aturan Sinus adalah aturan penting yang berfungsi untuk menghubungkan sisi dan sudut segitiga. Aturan Sinus dapat digunakan dalam segitiga apapun dengan sisi dan sudut berlawanannya diketahui. Sedangkan aturan Cosinusadalah menghubungkan ketiga sisi ke satu sudut. Aturan Cosinusdigunakan untuk menjelaskan hubungan antara nilai Cosinusdan kuadrat panjang sisi pada salah satu sudut segitiga. Sedangkan aturan Luas Segitiga digunakan untuk menentukan luas segitiga jika diketahu sudut apit dan sisi apit dari sebuah segitiga. Selain Aturan Sinus dan Aturan Cosinus, maka ada juga aturan dalam segitigayang terkait dengan Luas Segitiga. Suatu segitiga sembarang dapat kita hitung luasnya tidak hanya dengan menggunakan rumus luas segitiga biasa yang kita kerjakan, namun dengan menggunakan trigonometri. Ketiga hal tersebutakan sama-sama kita pelajari dalam modul ini. D. Petunjuk Penggunaan ModulAgar modul ini bisa kalian gunakan secara maksimal maka diharapkan melakukan langkah –langkah sebagai berikut: 1.Pelajari dan pahami peta konsep yang disajikan dalam setiap modul.2.Pelajarilah dan pahami tujuan yang tercantum dalam setiap kegiatan pembelajaran.3.Sebelum mempelajari materi ini, maka sebaiknya kalian telah memahami materi terkait dengan rasio trigonometri dan nilai trigonometri sudut-sudut istimewa4.Pelajarilah uraian materi secara sistematis dan mendalam setiap kegiatan pembelajaran.5.Kerjakanlahlatihan soal di setiap akhir kegiatan pembelajaran untuk mengukur tingkat penguasaan materi.6.Lanjutkan pada kegiatan pembelajaran berikutnya jika sudah mencapai ketuntasan yang diharapkan dengan nilai minimal 75. E.Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 2kegiatan pembelajarandandi dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Kegiatan Pembelajaran Pertama :Aturan SinusKegiatan Pembelajaran Kedua : Aturan Cosinusdan Luas Segitiga
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1Aturan SinusA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini kalian diharapkan: 1.Mampu menjelaskan aturan sinus dengan benar2.Mampu menyelesaikan aturan sinus dengan benar3.Mampu menggunakan Aturan Sinus untuk menyelesaikan masalah kontekstualB.Uraian MateriPada bahasan kali ini, kita akan menemukan rumus-rumus trigonometri yang berlaku pada sembarang segitiga. Dalam sebuah segitiga sembarang maka yang menjadi permasalahan utama adalah menentukan panjang sisi dan besar sudut segitiga. Jika hanya sebuah panjang sebuah segitiga diketahui, apakah kita dapat menentukan panjang sisi-sisi yang lainnya? Atau apakah kita dapat menentukanbesar sudutnya? Sebaliknya, jika hanya sebuah sudut segitiga yang diketahui, apakah kita dapat menentukan besar sudut-sudut yang lain dan panjang sisi-sisinya?Pada materi sebelumnya kita telah mempelajari bahwa dalam sebuah segitiga siku-siku sembarang kita dapat menentukan perbandingan trigonometrinya. Dengan mudah kita dapat menetukan nilai sinus, Cosinusdan perbandingan trigonometri lainnya. Pertanyaan akan muncul bagaimana jika menggunakan konsep perbandingan trigonometri tersebut pada suatu segitiga sama kaki, segitiga sam asisi atau bahkan segitiga sembarang? Untuk menjawab pertanyaan tersebut makaingatlah kembali konsep yang pernah kita ketahui sebelumnya terkait dengan garis tinggi dan garis berat sebuah segitiga sembarang. Perhatikan gambar berikut:Ingat kembali bahwa pada setiap segitiga sembarang, diperoleh bahwa garis tinggi adalah suatu garis yang dibentuk dari suatu sudut dan berpotongan tegak lurus dengan sisi dihadapannya. Maka pada gambar di atas diperoleh bahwa BD merupakan salah satu garis tinggi dari segitiga ABC. Sedangkan garis berat adalah suatu garis yang dibentuk dari suatu sudut danmemotong sisi dihadapannya menjadi dua bagian sama panjang. Maka pada gambar diatas, BE adalah garis berat segitiga ABC.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9Perhatikan gambar dibawah ini!Misalkan ABC adalah segitiga sembarang dengan panjangAB, BC dan AC masing-masing adalah c satuan, a satuan dan b satuan. Garia AE, BF dan CD masing-masing adalah garis tinggi segitiga ABC yang dibentuk dari A, B dan C. Perhatikan!a.Segitiga siku-siku ACD dengan AD ⊥CD.Maka dengan perbandingan trigonometri diperoleh bahwa:𝑆𝑖𝑛𝐴=𝐶𝐷𝐴𝐶CD = AC Sin A atau CD = b Sin Apersamaan (1)b.Segitiga siku-siku BCD dengan BD ⊥CD.Maka dengan perbandingan trigonometri diperoleh bahwa:𝑆𝑖𝑛𝐵=𝐶𝐷𝐵𝐶CD = BC Sin B atau CD = a Sin Bpersamaan (2)Dari persamaan (1) dan (2) maka diperoleh bahwa:CD = b Sin A dan CD = aSin B, maka b Sin A = a Sin B atau dapat dituliskan sebagai: 𝑎𝑆𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑆𝑖𝑛𝐵persamaan (3)c.Segitiga siku-siku ABEdengan AE⊥EB.Maka dengan perbandingan trigonometri diperolehbahwa:𝑆𝑖𝑛𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵AE= ABSin B atau AE= cSin Bpersamaan (4)d.Segitiga siku-siku ACE dengan AE ⊥CE.Maka dengan perbandingan trigonometri diperoleh bahwa:𝑆𝑖𝑛𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐶AE = AC Sin CatauAE = bSin Cpersamaan (5)Dari persamaan (4) dan (5) maka diperoleh bahwa:AE = c Sin B dan AE = b Sin C, makac Sin B = b Sin C atau dapat dituliskan sebagai: 𝑐𝑆𝑖𝑛𝐶=𝑏𝑆𝑖𝑛𝐵persamaan (6)
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Berdasarkan persamaan (3) dan (6) maka diperoleh bahwa: 𝑎𝑆𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑆𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑆𝑖𝑛𝐶Persamaan diatas disebut dengan Aturan SinusContoh 1.Diberikan segitiga sembarang ABC seperti pada gambar dibawah ini!Jawab:Jika panjang sisi AB = c = 12 cm, dan sisi AC = b cm maka diperoleh bahwa𝑏𝑆𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑆𝑖𝑛𝐶𝑏𝑆𝑖𝑛450=12𝑆𝑖𝑛600𝑏=12𝑆𝑖𝑛450𝑆𝑖𝑛600=12.12√212√3=12√2√3Maka bentuk diatas akan menjadi𝑏=12√2√3=12√2√3√3√3=12√63=4√6Maka panjang AC = b = 4√6cmContoh 2.Pada awalnya, Menara Pisa dibangun denganketinggian 56 m. Ternyata, tanah di lokasi pembangunan menara rentan akan kerapuhan, sehingga terjadi kemiringan. Pada jarak 44 m dari dasar menara diperoleh sudut elevasi 550, tentukan derajat kemiringan menara dari posisi awalnya!Jawab:Permasalahan di atas dapat kitailustrasikan seperti pada gambar dibawah ini!Tentukan panjang sisi AC?Ingat!Bentuk irrasional, maka harus diubah dengan mengalikan dengan sekawannya
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11Kita dapat menggunakan aturansinus untuk menyelesaikan permasalahan di atas. Dari ilustrasi di atas maka diperoleh bahwa:𝐴𝐵𝑆𝑖𝑛𝐶=𝐴𝐶𝑆𝑖𝑛𝐵maka44𝑆𝑖𝑛𝐶=56𝑆𝑖𝑛550maka diperoleh bahwa: 𝑆𝑖𝑛𝐶=44.𝑆𝑖𝑛55056=0,6436Dengan menggunakan kalkulator, maka diperoleh bahwa C = 400.Karena besar sudut dalam sebuah segitiga adalah 900maka C = 1800–(B + C) = 1800-950= 850.Sehingga kemiringan Menara Pisa = 900–850= 50Contoh 3.Jalan K dan jalan L berpotongan dikota A. Dinas tata kota ingin untuk menghubungkan Kota B dengan Kota Cdengan membangun jalan Myang memotong kedua jalan yang ada (seperti gambar dibawah). Jarak antara Kota A dan Kota C adalah 5 km, dan sudut yang dibentuk oleh jalan Mdan jalan Lsebesar 750sedangkan sudut yangdibentuk oleh jalan K dan jalan M adalah 300. Tentukan jarak kota A dan Kota B!Jawab:Berdasarkan ilustrasi gambar di atas, maka buatlah garis tinggi segitiga ABC dari A. Dengan menggunakan aturan segitiga, maka diperoleh bahwa:𝐴𝐵𝑆𝑖𝑛𝐶=𝐴𝐶𝑆𝑖𝑛𝐵atau 𝐴𝐵=𝐴𝐶𝑆𝑖𝑛𝐶𝑆𝑖𝑛𝐵𝐴𝐵=5.𝑆𝑖𝑛75012=5.0,96512=10.0,965=9,65Jadi jarak antara Kota A dan Kota B adalah 9,65 km.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12C.RangkumanPada sembarang segitiga ABC dengan panjangmasing-masing sisi adalah a, b dan cdan A, B dan C maka berlaku Aturan Sinus sebagai berikut:𝑎𝑆𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑆𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑆𝑖𝑛𝐶D.Latihan SoalKerjakan soal-soal berikut dengan memilih jawaban yang paling tepat!1.Berdasarkan aturan sinus, maka hubungan antara panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga ABC berikut yang benar adalah ....A.𝑎=𝑆𝑖𝑛𝐴.𝑆𝑖𝑛𝐵𝑏B.𝑎=𝑐.𝑆𝑖𝑛𝐵𝑆𝑖𝑛𝐶C.𝑏=aSinBD.𝑐=𝑏.𝑆𝑖𝑛𝐶𝑆𝑖𝑛𝐵E.c = b.Sin A 2.Pada segitiga ABC dengan panjang a = 8 cm, b = 4√2cm dan A = 450, maka besar B adalah ....A.300B.450C.550D.600E.7503.Diberikan segitiga ABCdengan besar A = 300, C = 1050dan panjang BC = 10 cm. Maka panjang AC adalah ....A.5 cmB.5√3cmC.10√2cmD.10√3cmE.103√3cm4.Perhatikan gambar dibawah ini!Perbandingan panjang antara BC : AC adalah ....A.3 : 4B.4 : 3C.√2∶√3D.√3∶2√2E.√3∶√2
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN135.Perhatikan gambar dibawah ini!Dua orang mulai berjalan masing-masing dari titik A dan titik B pada saat yang bersamaan. Supaya A dan B sampai dititik C pada waktu yang bersamaan pula maka kecepatan berjalan dari titik A harus ....A.2 kali kecepatan orang yang berjalan dari tiitk BB.12√2kalikecepatan orang yang berjalan dari tiitk BC.√2kalikecepatan orang yang berjalan dari tiitk BD.2√2kalikecepatan orang yang berjalan dari tiitk BE.√3kalikecepatan orang yang berjalan dari tiitk B6.Diberikan segitiga ABC dengan panjang sisi a dan b berturut-turut 9 cm dan 12 cm. Sudut B = 420maka besar sudut C adalah .... (gunakan bahwa Sin 420= 0,669 dan Cos 420= 0.743)A.300B.720C.1020D.1080E.25207.Diketahui segitigaMAB dengan AB = 300 cm, sudut MAB = 600sudut ABM = 750, maka panjang AM = ....A.150(1+√3)cmB.150(√2+√3)cmC.150(3+√3)cmD.150(√2+√6)cmE.150(√3+√6)cm8.Dalam segitiga ABC dengan panjang sisi AC = 8, BC = 4√2besar sudut ABC = 450maka nilai Tan BAC = ....A.13√2B.13√3C.12√2D.12√3E.√29.Pada sebuah segitiga ABC diketahui bahwa A = 300dan B = 600. Jika panjang sisi a + c = 9 cm, maka panjang sisi b adalah ....A.2√3B.3√3C.2√3D.3√2E.3
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN1410.Perhatikan gambar berikut!Diberikan segitiga ABCD seperti pada gambardi samping. Luas ABCD adalah....A.60+652√3B.30+136√3C.30+65√3D.30+652√3E.10+130√3
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN15PEMBAHASAN SOAL LATIHAN1.Jawaban : DPembahasan:Aturan Sinus menyebutkan bahwa 𝑐𝑆𝑖𝑛𝐶=𝑏𝑆𝑖𝑛𝐵⇒𝑐=𝑏𝑆𝑖𝑛𝐶𝑆𝑖𝑛𝐵2.Jawaban: APembahasan:Dengan menggunakan aturan sinus maka diperoleh bahwa:𝑏𝑆𝑖𝑛𝐵=𝑎𝑆𝑖𝑛𝐴⇒4√2𝑆𝑖𝑛𝐵=8𝑆𝑖𝑛450⇒𝑆𝑖𝑛𝐵=4√2.12√28=12Karena 𝑆𝑖𝑛𝐵=12maka besar B = 3003.Jawaban: CPembahasan:Karena jumlah sudut dalam sebuah segitiga adalah 1800, maka B = 1800–(300+ 1050) = 450. Dengan menggunakan Aturan Sinus maka diperoleh bahwa:𝐴𝐶𝑆𝑖𝑛450=10𝑆𝑖𝑛300⇒𝐴𝐶12√2=1012⇒𝐴𝐶=10√24.Jawaban: CPembahasan:Jumlah sudut dalam seuah segtiga = 1800maka diperoleh bahwaB = 1800–(A + C) = 1800–1450= 450.Panjang BC = a = 10 cm, maka panjang AC = b dapat diperoleh dari 𝑏𝑆𝑖𝑛𝐵=𝑎𝑆𝑖𝑛𝐴𝑏𝑆𝑖𝑛450=10𝑆𝑖𝑛300atau 𝑏=10.12√212=10√2cm5.Jawaban : BPembahasan: Ingatlah kembali konsep terkait dengan kecepatan, dimana 𝑣=𝑠𝑡atau 𝑡=𝑠𝑣Dengan v = kecepatan, s = jarak dan t adalah waktu tempuhGunakan aturan segitiga diperoleh bahwa: 𝑎𝑆𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑆𝑖𝑛𝐵⇒𝑆𝑖𝑛𝐵𝑆𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑎Waktu yang dibutuhkan untuk orang yang berjalan dari titik A sama dengan waktu tembuh yang berjalan dari titik B, maka diperoleh bahwa 𝑡𝐴=𝑡𝐵Maka 𝑡𝐴=𝑡𝐵⇒𝑠𝐴𝑣𝐴=𝑠𝐵𝑣𝐵⇒𝑣𝐴𝑣𝐵=𝑠𝐴𝑣𝐵Dengan 𝑠𝐴=𝑏dan 𝑠𝐵=𝑎maka diperoleh bahwa:𝑣𝐴𝑣𝐵=𝑏𝑎⇒𝑣𝐴𝑣𝐵=𝑆𝑖𝑛𝐵𝑆𝑖𝑛𝐴⇒𝑣𝐴𝑣𝐵=𝑆𝑖𝑛300𝑆𝑖𝑛450⇒𝑣𝐴𝑣𝐵=1212√2=1√2=12√2Maka diperoleh bahwa : 𝑣𝐴=12√2𝑣𝐵
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN166.Jawaban : DPembahasan : Dengan menggunakan aturan sinus maka diperoleh:𝑎𝑆𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑆𝑖𝑛𝐵9𝑆𝑖𝑛𝐴=12𝑆𝑖𝑛429𝑆𝑖𝑛𝐴=120,669Maka 𝑆𝑖𝑛𝐴=9𝑥0.66912=0.50Sehingga diperoleh A = 300Karena besar sudut dalam sebuah segitiga adalah 1800maka C = 1800–(A + B) = 1800–(300+ 420) = 1800–720= 10807.Jawaban : APembahasan: 8.Jawaban : BPembahasan:
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN179.Jawaban: BPembahasan:Perhatikan gambar berikut:Karena jumlah sudut dalam sebuah segitiga = 1800 maka diperoleh bahwa:C = 1800–(A + B) = 1800–(300 + 600) = 900. Dengan menggunakan aturan sinus maka: 𝑎𝑆𝑖𝑛300=𝑐𝑆𝑖𝑛900maka 𝑎12=𝑐1atau c = 2a. Karena a + c = 9 dan c = 2a maka a + 2a = 3a = 9 →maka a = 3Jika a = 3 maka c = 9 –3 = 6 cm. Untuk menentukan panjang sisi b, maka diperoleh bahwa:𝑏𝑆𝑖𝑛600=𝑎𝑆𝑖𝑛300→𝑏12√3=312→𝑏=3√310.Jawaban: DPembahasan:Berdasarkan dengan Phytagoras: 𝐵𝐷=√122+52=13Luas ABCD = Luas ABD + Luas BCD = 12.5.12+12.1.13𝑆𝑖𝑛600=30+653√3F.Penilaian DiriBerilah tanda Vpada kolom “Ya” jika kalian mampu dan “Tidak” jika belum mampu memahami kemampuan berikut:Kemampuan DiriYaTidakMampu menjelaskan Aturan Segitiga dalam sebuah segitiga sembarangMampu menyelesaikan aturan sinus dengan benarMampu menyelesaikan masalahkonstektual yang berhubungan dengan Aturan SinusKalian bisa meneruskan ke materi berikutjika semua kolom diceklist“YA”. Jika masih ada kolom yang “TIDAK”, maka baca kembali dan kembali ke bagian awa. Dari modul ini.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN18KEGIATAN PEMBELAJARAN 2Aturan Cosinusdan Luas SegitigaA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 2ini diharapkan siswa:1.Mampu menjelaskan aturan cosinus dengan benar2.Mampu menjelaskan penyelesaian aturan cosinus dengan benar3.Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan cosinus dengan benar4.Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturanLuas Segitiga dengan benarB.Uraian Materi1.Aturan CosinusAturan cosinus adalah salah aturan dalam trigonometri yang menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satusudut dalam sebuah segitiga. Aturan cosinus digunakan untuk menentukan besar salah satu sudut segitiga saat tiga sisi segitiga diketahui. Selain itu aturan cosinus dapat pula digunakan untuk menentukan salah satu sisi segitiga saat diketahui dua sisi dan sudut apitnya. Pembuktian rumus aturan cosinus dapat dilihat dari uraian dibawah ini. Perhatikan gambar dibawah ini!Misalkan panjang AB = c cm, BC = a cm, dan AC = b cm. Jika panjang CD = x cm, maka panjang BD = (a –x) cm. a)Perhatikan segitiga ACD dimana AD tegak lurus CD. Maka dengan menggunakan Teorema Phytagorasdiperoleh bahwa:𝐴𝐷2=𝐴𝐶2−𝐶𝐷2atau 𝐴𝐷2=𝑏2−𝑥2persamaan (1)Ingatlah kembali bahwa:𝐶𝑜𝑠𝐶=𝐶𝐷𝐴𝐶=𝑥𝑏atau 𝑥=𝑏𝐶𝑜𝑠𝐶persamaan (2)Perhatikan segitiga ABD dimana AD tegak lurus BD. Maka dengan menggunakan Teorema Phytagoras diperoleh bahwa:𝐴𝐷2=𝐴𝐵2−𝐵𝐷2atau 𝐴𝐷2=𝑐2−(𝑎−𝑥)2persamaan (3)Berdasarkan persamaan (1) dan (3) maka diperoleh bahwa:
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN19𝑐2−(𝑎−𝑥)2=𝑏2−𝑥2𝑐2−(𝑎2−2𝑎𝑥+𝑥2)=𝑏2−𝑥2𝑐2−𝑎2+2𝑎𝑥−𝑥2=𝑏2−𝑥2𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑥persamaan (4)Substitusikan persamaan (2) ke (4) maka diperoleh:𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎(𝑥)𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠𝐶Dengan cara sama seperti di atas, dengan membuat garis tinggi dari masing-masing tiitk sudut yang lainnya yaitu C dan B makaakan diperoleh aturan cosinus untuk sisi-sisi yang lainsebagai berikut:𝑎2=𝑐2+𝑏2−2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠𝐴dan 𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠𝐶Cobalah untuk membuktikan dengan mengikuti langkah seperti nomor 1!Untuk lebih kalian memahami Aturan Cosinus, maka perhatikan beberapa contoh berikut iniContoh 1.Diketahui segitiga ABC dengan panjang b = 2 cm, c = 3 cm dan A = 600. Maka tentukan panjang sisi a?Jawaban:Perhatikan ilustrasi berikut:Contoh 2.Perhatikan gambar dibawah ini!Titik A dan C merupakan titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari titik B dan besar sudut penglihatan CBA = 600. Jika panjang AB = 2x meter dan BC = 3𝑥2meter, maka tentukan panjang terowongan?Dengan menggunakan Aturan Cosinus maka diperoleh:𝑎2=22+32−2.2.3.𝐶𝑜𝑠600𝑎2=4+9−2.2.3.12𝑎2=13−6Maka a = √7
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN20Jawaban:Melihat ilustrasi diatas, maka masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan Aturan Cosinus. Mengapa? Karena dari informasi yang diberikan diketahui 2 sisi apit dan 1 sudut yang diapit oleg 2 sisi tersebut. Sehingga dapat diperoleh bahwa: 𝐴𝐶2=(2𝑥)2+(3𝑥2)2−2.2𝑥.3𝑥𝑥.𝐶𝑜𝑠600=4𝑥2+(9𝑥4)2−3𝑥2=134𝑥2Maka panjang terowongan adalahAC = 12√13𝑥Contoh 3.Dua buah kapal tanker berangkat dari titik yang sama dengan arah berbeda sehingga membentuk sudut 600. Kapal pertama bergerak dengan kecepatan 30 km/jam dan kapal kedua bergerak dengan kecepatan 25 km/jam. Tentukan jarak kedua kapal setelah berlayar selama 2 jam perjalanan?Jawaban:Berdasarkan masalah di atas, maka dapat diilustrasikan sebagai berikut:Kapal A dan B telah berlayar selama 2 jam, maka dengan menggunakan rumus bahwa s = v x t , dengan v adalah kecepatan dan t adalah lamanya kapal berlayar, maka jarak yang telah ditempuh oleh kapal A adalah:SA= 30 km/jam x 2 jam = 60 kmSB= 25 km/jam x 2 jam = 50 kmJarak antara kapal A dan B setelah 2 jam berlayar dapat ditentukan dengan menggunakan Aturan Cosinus:Misalkan jarak antara kapal A dan B setelah berlayar selama 2 jam adalah AB, maka 𝐴𝐵2=(60)2+(50)2−2..60.50𝐶𝑜𝑠600=3600+2500−3000=3100Sehingga jarak antarakapal A dan B adalah 10√31kmMisalkan kapal A dan B secara Bersama-samma bergerak dari titik C dan berlayar dengan membentuk sudut sebesar 600. Kapak A mempunyai kecepatan 30 km/jam dan kapal B mempunyai kecepatan 25 km/jam.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN21b)Aturan Luas SegitigaPerhatikan segitiga dibawah ini!Perhatikan segitiga ACD. Maka diperolehbahwa 𝑆𝑖𝑛𝐴=𝑡𝑏maka diperoleh bahwa t = b Sin ALuas Segitiga dapat diperoleh dari: LuasSegitigaABC=12xAlasxTinggi=12𝐴𝐵𝑥𝐶𝐷=12𝑥𝑐𝑥𝑏𝑆𝑖𝑛𝐴Maka diperoleh bahwa: LuasSegitigaABC=12𝑥𝑐𝑥𝑏𝑆𝑖𝑛𝐴Perhatikan segitiga DBC. Maka diperoleh bahwa 𝑆𝑖𝑛𝑩=𝑡𝑎maka diperoleh bahwa t = aSin BLuas Segitiga dapat diperoleh dari: LuasSegitigaABC=12xAlasxTinggi=12𝐴𝐵𝑥𝐶𝐷=12𝑥𝑐𝑥𝑎𝑆𝑖𝑛𝐵Maka diperoleh bahwa: LuasSegitigaABC=12𝑥𝑐𝑥𝑎𝑆𝑖𝑛𝐵Dengan cara yang sama maka kita bisa peroleh juga bahwa:LuasSegitigaABC=12𝑥𝑎𝑥𝑏𝑆𝑖𝑛𝐶Contoh 1.Diberikan segitiga ABC dengan panjang AC = 6 cm, BC = 8 cm dan besar sudut C sebesar 300. Luas segitiga ABC adalah....Jawab. Luas Segitiga ABC = 12.𝐴𝐶.𝐵𝐶𝑆𝑖𝑛𝐴=126𝑥8𝑥𝑆𝑖𝑛300=12𝑥6𝑥8𝑥12=12𝑐𝑚2Apakah kalian bisa mendapatkannya secara mandiri?
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN22C.RangkumanPada sembarang segitiga ABC dengan panjang masing-masing sisi adalah a, b dan c dan A, B dan C maka berlaku Aturan Cosinussebagai berikut:𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠𝐶𝑎2=𝑐2+𝑏2−2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠𝐴𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠𝐶Pada sembarang segitiga ABC dengan dengan panjang masing-masing sisi adalah a, bdan c dan A, B dan C maka berlaku Aturan Luas Segitiga sebagai berikut:𝐿𝑢𝑎𝑠𝐴𝐵𝐶=12𝑥𝑎𝑥𝑏𝑥𝑆𝑖𝑛𝐶=12𝑥𝑎𝑥𝑐𝑥𝑆𝑖𝑛𝐵=12𝑥𝑏𝑥𝑐𝑥𝑆𝑖𝑛𝐴D.Latihan SoalSetelah mengikuti kegiatan pembelajaran di atas, maka berlatihlah dengan soal-soal dibawah ini!1.Perhatikan gambar berikut:2.Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 9 cm, AC = 8 cm dan BC = 7 cm. Nilai Sin Aadalah .....A.23B.34C.13√5D.23√5E.1564Panjang sisi PR adalah ....A.10 cmB.2√37cmC.4√37cmD.2√48cmE.10√48cm
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN233.Diketahui segitiga ABC dengan C = 300,AC = 2a dan BC = 2𝑎√3. Maka panjang AB adalah ....A.aB.2aC.2a√5D.2a√2E.4a√34.Sebuah segitiga ABCdengan panjang AB = 8 cm, BC = 13 cm dan AC = 15 cm. Jika x adalah sudut yang dibentuk antara sisi AB dan AC, maka nilai Sin x . Tan x = .....A.√32B.12C.√3D.32E.345.Pada segitiga ABC dengan panjang 𝑎=2√7, b = 4 dan c = 6, maka nilai dari Sin A = ....A.12B.12√2C.12√3D.13√2E.13√36.Perhatikan gambar dibawah berikut!Tentukan panjang sisi-sisi segitiga diatas?7.Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 km. Kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan arah 300sejauh 60 km. Tentukan jarak terhadap posisi kapal berangkat?
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN24PEMBAHASAN LATIHAN SOAL1.Jawaban:BPembahasan: Dengan menggunakan Aturan Cosinus maka diperoleh:𝑃𝑅2=62+8−2.6.8.𝐶𝑜𝑠1200𝑃𝑅2=100−2.6.8.(−12)𝑃𝑅2=100+48=148Maka PR= 2√372.Jawaban:CPembahasan: Untuk menentukan nilai Sin A, maka terlebih dahulu dihitung nilai dari Cos A. Nilai Cos A diperoleh dengan menggunakan aturan cosinus. Aturan cosinus: 𝐶𝑜𝑠𝐴=92+82−722.9.8=81+64−492.9.8=98144=23Dengan menggunakan rasio trigonometri, maka diperoleh bahwa:𝑆𝑖𝑛𝐴=√9−43=√533.Jawaban:BPembahasan: Dengan menggunakan Aturan Cosinus maka diperoleh:𝐴𝐵2=(2𝑎)2+(2𝑎√3)2−2.2𝑎.2𝑎√3𝐶𝑜𝑠300𝑃𝑅2=4𝑎2+12𝑎2−12𝑎2𝑃𝑅2=4𝑎2Maka PR = 2a4.Jawaban:DPembahasan:Karena x merupakan sudut antara AB dan AC, maka dengan menggunakanaturan cosinus diperoleh:𝐶𝑜𝑠𝐴=𝐴𝐶2+𝐴𝐵2−𝐵𝐶22.𝐴𝐶.𝐴𝐵=152+82−1322.15.8=225+64−169240=12Dengan menggunakan rasio trigonometri, maka diperoleh bahwa:𝑆𝑖𝑛𝑥.𝑇𝑎𝑛𝑥=√32.√31=325.Jawaban:CPembahasan: 6.Jawaban:PQ = 6, PR = 4, RQ=2√7Ingat tentang rasio trigonometri
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN25Pembahasan: Untuk menentukan panjang sisi-sisi segitiga maka digunakan aturan cosinus. Maka diperoleh bahwa:(2√𝑥+2)2=(𝑥−1)2+(𝑥+1)2−2(𝑥−1)(𝑥+1)𝐶𝑜𝑠6004(𝑥+2)=𝑥2−2𝑥+1+𝑥2+2𝑥+1−(𝑥2−1)4(𝑥+2)=𝑥2+3Maka diperoleh : x2–4x –5 = 0→x = 5 atau x = -1. Kita hanya ambil x = 5 karenajika x = -1 maka panjang PQ = 0 (Tidak mungkin). Maka dengan x = 5, maka diperoleh PQ = 5 + 1 = 6, PR = 5 –1 = 4 dan RQ = 2√2+5=2√77.Jawaban: 30√7kmPembahasan: Masalah yang diatas dapat diilustrasikan sebagai berikut:Jarak kapal terhadap posisi kapal perangkat adalah:
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN26E.Penilaian DiriBerilah tanda Vpada kolom “Ya” jika kalian mampu dan “Tidak” jika belum mampu memahami kemampuan berikut:Kemampuan DiriYaTidakMampu menjelaskan Aturan Cosinusdalam sebuah segitiga sembarangMampu menyelesaikan aturan cosinusdengan benarMampu menyelesaikan masalah konstektual yang berhubungan dengan Aturan cosinusMampu menjelaskan Aturan Luas Segitigadalam sebuah segitiga sembarangMampu menyelesaikan masalah konstektual yang berhubungan dengan Luas SegitigaKalian bisa meneruskan ke materi berikut jika semua kolom diceklist “YA”. Jika masih ada kolom yang “TIDAK”, maka baca kembali dan kembali ke bagian awal dari modul ini.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN27EVALUASIKerjakan evaluasi di bawah ini dengan jujur untuk mengetahui sejauhmana kalian sudah memahami materi terkait dengan Aturan Sinus dan Aturan Cosinus!PILIHAN GANDA.1.Perhatikan gambar berikut ini!2.Pada segitiga ABC diketahui sisi a= 4 , sisi b= 6 cm dan sudut B = 450. Nilai cosinussudut A adalah ...A.16√2B.16√6C.167D.13√2E.13√73.Nilai sinus sudut A dalam segitiga ABC yang panjang sisi-sisnya : a= √7, b= 3 dan c= 2 adalah ...A.14√3B.12C.34D.12√3E.16√354.Dalam segitiga PQR diketahui q = 8, r = 5 dan sudut P = 60o, panjang sisi p = ...A.√7B.7C.8D.9E.√635.Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 10 cm dan AC = 12 cm dan sinB = 45, maka nilai dari cosC = ...A.1B.13√5C.34D.25√5E.91010cm603010 cm45DCBAPanjang BC adalah ...A.42cmB.62cmC.73cmD.56cmE.76cm
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN286.Perhatikan gambar berikut ini!Jika panjang lintasan langsung dari A ke C adalah 𝑎√7dan dari A ke B adalah a, maka panjang jalan dari A ke C melalui B adalah ...A.212aB.3aC.314aD.214aE.4a7.Diketahui segitiga ABC. Panjang sisi AC = bm, sisi BC = acm dan a+ b= 10 cm. Jika sudutA = 30odan sudutB = 60o, maka panjang sisi AB = ...A.10 + 5√3cmB.10 –5√3cmC.10√3–10 cmD.5√3+ 5 cmE.5√3+ 15 cm8.Dari pelabuhan P, kapal A berlayar ke arah 450dengan kecepatan 30 km/jam, sedangkan kapal B berlayar ke arah 3450dengan kecepatan 35 km/jam. Berapakah jarak kapal A dan kapal B setelah 2 jam?A.8√41kmB.8√43kmC.10√41kmD.10√43kmE.11√41km9.Dua orang yaitu P dan Q berjalan, masing-masing dari tempat A dan tempat B, mulai dari saat yang sama menuju tempat C. Jika sudutBAC = 450dan agar kedua orang itu harus sampai di C pada waktu yang samapula, berapa kalikah kecepatan P berjalan dibandingkan dengan kecepatan Q? A.12√2kaliB.√2kaliC.2 kaliD.√3kaliE.2√2kali10.Luas suatu jajar genjang yang panjang sisi berturutan adalah 6 cm dan 9 cm, dan sebuah sudutnya sama dengan 600adalah ...A.27 cm2B.27√3cm2 C.272√3cm2 D.45cm2 E.54cm2
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2911.Pada segitiga ABC, diketahui bahwa a + b + c = 200. Jika besar sudut B = 30odan besar sudut C = 120o, maka panjang sisi c = ...A.200(√3−3)B.200C.200(2√3+3)D.200(2√3−3)E.200(√3+3)12.Diketahui jari-jari lingkaran luar segi-12 beraturan adalah r. Luas segitiga-12 yang dpaat dibuat adalah ....A.14𝑟2B.12𝑟2C.12𝑟2√3D.𝑟2√3E.3r213.Diketahui besar ∠B= 45o, panjang BC = 12 cmdan panjang AB = 17 cm. Maka luas segitiga ABC adalah ... cm2A.91√2B.81√2C.71√2D.61√2E.51√214.Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5cm, 6 cm dan √21cm adalah ...A.15√21B.16√21C.15√5D.16√5E.13√515.Dalam segitiga ABC diketahui b= 8 cm , c= 5 cm dan sudut A = 600. Maka a= ....A.√7cmB.7 cmC.89 cmD.49 cmE.√129cm16.Diketahui ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm dan CAB = 60o. CD adalah tinggi ABC. Panjang CD = ...A.23√3cmB.2√3cmC.2 cmD.32√3cmE.√3cm
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3017.Diketahui PQR dengan PQ = 3 cm, PR = 5 cm dan QPR = 60o. Jika PS garis bagi QPR, panjang PS = ...A.209√3cmB.209√3cmC.454√3cmD.203√3cmE.103√3cm18.Perhatikan gambar berikut!19.Perhatikan gambar berikut ini!20.Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10 cm dan sudut A = 60o. Panjang sisi BC = ...A.2√19cmB.3√19cmC.4√19cmD.2√29cmE.3√29cmJika diketahui bahwa panjang PQ = PR, maka keliling segiempat PQRS adalah ....A.(12+3√133+12√3)𝑐𝑚B.(12+133√3+12√3)𝑐𝑚C.(18+12√3)𝑐𝑚D.(18+12√3)𝑐𝑚E.(24+12√3)𝑐𝑚Diberikan panjang AB = AD, BC = CD = 4 cm. A = 600dan C = 1200. Luas segiempat ABCD adalah ....A.4√3cm2B.8√3cm2C.12√3cm2D.16√3cm2E.18√3cm2
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN31KUNCI JAWABAN1.D2.D3.B4.B5.B6.C7.E8.D9.B10.B11.D12.E13.E14.E15.B16.B17.C18.E19.C20.A
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.9@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN32DAFTAR PUSTAKA2017. "https://smatika blogspot.com." ttps://smatika.blogspot.com/2017/01/pembuktian-aturan-sinus-dan-aturan.html.Januari 30. Accessed September 9, 2020.2020."https://www.catatanmatematika.com." https://www.catatanmatematika.com/2020/03/bank-soal-aturan-sinus-dan-pembahasan.html.Maret 3. Accessed September 10, 2020.Indonesia, Forum Tentor. 2016. The King Bedah Tuntas SKL UN SMA IPA .Yogyakarta: Forum Edukasi.Sukismo. 2018. Erlangga X-Press UN SMA/MA Program IPA.Jakarta: Erlangga.